重力加速度值的測定-凱特擺

 

 

【目的】

了解複擺(凱特擺)的物理性質及測重力加速度。

【儀器】

凱特擺(圖一)、計時器、支架、三角鐵。

【原理】

凱特擺是一種兩端不對稱的複擺(compound pendulum),其中是兩個懸掛刀口(knife-edge),W是可以移動的重鎚,AA’是游標,A是粗調,A’是微調。WAA’均是用來調整重心的位置。我們可以從凱特擺的運動方程式解出擺動週期。

轉動力學中,力矩與角加速度的關係式是:,其中

τ:力矩              定義成:

I:轉動慣量       定義成:

α:角加速度      定義成:

圖二的複擺中,是兩個懸掛點,重心位於G,質量mG的距離是G的距離是。要是複擺以為懸掛點。當轉動了θ角時,擺受到的力矩是:

負號是因為此時重力產生的力矩方向,具有使複擺擺動角度有變小的趨勢,亦即時,時,

很小時,,那麼力矩τ是,運動方程式就是

解微分方程式可得到            

其中,、δ均是常數,可以由擺動的起始條件(initial condition)來決定。因為餘弦函數的週期為2π,所以如果以T表示擺動週期,則

                                1

如果以R表示複擺繞重心G的迴轉半徑(Radius of Gyration),便可以得到。所以我們可以由平行軸定理(parallel axis theorem)求出複擺對點的轉動慣量:

代入(1)式中,則

                                                2

同理,要是以O為懸掛點,那麼複擺的週期是

                                3

由(2)、(3)兩式消去R。則

                    

                                                 4

所以只要我們分別測知複擺懸掛在時候的週期及兩個懸掛點到重心G的長度,就可以求出重力加速度值。又因為等於間的距離L,此L稱為此複擺的等效單擺長(為什麼?),所以只要我們能夠使的話,那麼 (4)式就可以簡化成

                                          5

 

【步驟】

1. 將凱特擺小心的放在三角鐵上,用平衡法找出重心G的位置,並且求出

2. 使凱特擺的刀口懸掛在牆壁的支架上,輕輕的使其擺動(擺動時,角度不得超過5°,且儘量不使擺搖晃)。用計時器記錄擺來回擺動25次所需的時間,並且將這個值除以25,就是擺動的週期 

3.      將凱特擺倒置,使懸在支架上,依步驟 2.的方法求出

4.      將所得的數據,代入式(4)中,求出重力加速度g

5.      改變兩次W的位置,分別重複步驟 1.到步驟 4.,求W在不同位置時的g值,並求平均值

6.      分別由步驟 2.、步驟 3.,如果,那麼就用這組數據代入式 (5)中,求出g值。

7.      如果的話,就捨去這組數據,調整游標AA’,重複步驟 6.

8.      改變W的位置,重複步驟 6. 7.,直至找到為止,並求g值。

9.      由步驟 6.和步驟 8.,求g的平均值。並與步驟 5.比較。

10.  AA’歸零。

 

【問題】

1. 試說明迴轉半徑(Radius of Gyration之物理意義?( 參考 Symon 所著 Mechanics P.210

2. 凱特擺的造形若設計成對稱的形狀,而使,請問是否理想?說明理由。

3. 設計一實驗以測出實心球的迴轉半徑。其是否即為球的半徑?

4. 還有哪些實驗可以測量重力加速度?

5. 測量凱特擺擺動時為何角度不得超過5°,若不超過3°或更小會比較好嗎?